Come Calcolare uno Z Score

Uno Z score ti permette di prendere un campione di dati all’interno di un insieme più ampio e di determinare di quante deviazioni standard si trova sopra o sotto la media. Per trovare lo Z score, devi prima calcolare la media, la varianza e la deviazione standard. Successivamente, dovrai trovare la differenza fra il dato del campione e la media e dividere il risultato per la deviazione standard. Sebbene, dall’inizio alla fine, ci siano molti passaggi da seguire per trovare il valore dello Z score con questo metodo, sappi comunque che si tratta di un calcolo semplice.

Parte 1 di 4:
Calcolare la Media
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    Osserva il tuo insieme di dati. Avrai bisogno di alcune informazioni chiave per trovare la media aritmetica del campione.
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    Annota tutti i valori. Hai bisogno di tutti i numeri che compongono il campione di dati per iniziare i calcoli.
    • La media aritmetica ti dice attorno a quale valore medio si distribuiscono i dati che compongono il campione.
    • Per calcolarla, somma fra loro tutti i valori dell’insieme e dividili per il numero dei dati che compongono l’insieme.
    • Nella notazione matematica, la lettera “n” rappresenta la dimensione del campione. Nell’esempio delle altezze delle palme, n=5, dato che abbiamo 5 alberi.
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    Somma fra loro tutti i valori. Questa è la prima parte del calcolo per trovare la media aritmetica.
    • Considera il campione di palme le cui altezze sono 7, 8, 8, 7,5 e 9 metri.
    • 7 + 8 + 8 + 7,5 + 9 = 39,5. Questa è la somma di tutti i dati del campione.
    • Controlla il risultato per essere certo di non avere commesso errori.
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    Dividi la somma per la grandezza “n” del campione. Quest'ultimo passaggio ti darà la media dei valori.
    • Nell’esempio delle palme, sai che le altezze sono: 7, 8, 8, 7,5 e 9. Ci sono 5 numeri nel campione, quindi n=5.
    • La somma delle altezze delle palme è 39,5. Devi dividere questo valore per 5 per trovare la media.
    • 39,5/5 = 7,9.
    • La media delle altezze delle palme è 7,9 m. La media, spesso, viene rappresentata con il simbolo μ, quindi μ=7,9.
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Parte 2 di 4:
Trovare la Varianza
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    Calcola la varianza. Questo valore mostra quanto il campione si distribuisce attorno al valore medio.
    • La varianza ti dà un’idea di quanto i valori che compongono un campione si discostano dalla media aritmetica.
    • I campioni con una bassa varianza sono composti da dati che tendono a distribuirsi molto vicino alla media.
    • I campioni con un’alta varianza sono composti da dati che tendono a distribuirsi molto lontano dal valore medio.
    • La varianza, spesso, si utilizza per confrontare la distribuzione di due campioni o insiemi di dati.
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    Sottrai il valore medio da ogni numero che compone l’insieme. Questo ti dà un’idea di quanto ogni valore si discosta dalla media.
    • Considerando l’esempio delle palme (7, 8, 8, 7,5 e 9 metri) la media era 7,9.
    • 7 - 7,9 = -0,9; 8 - 7,9 = 0,1; 8 - 7,9 = 0,1; 7,5 - 7,9 = -0,4 e 9 - 7,9 = 1,1.
    • Rifai i calcoli per verificare che siano corretti. È estremamente importante che tu non abbia commesso errori in questo passaggio.
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    Eleva al quadrato tutte le differenze che hai trovato. Devi elevare a potenza di 2 tutti i valori per procedere al calcolo della varianza.
    • Ricorda che, considerando l’esempio delle palme, abbiamo sottratto il valore medio 7,9 da ogni valore che compone l’insieme (7, 8, 8, 7,5 e 9) e abbiamo ottenuto: -0,9; 0,1; 0,1; -0,4; 1,1.
    • Eleva al quadrato: (-0,9)2 = 0,81; (0,1)2 = 0,01; (0,1)2 = 0,01; (-0,4)2 = 0,16 e (1,1)2 = 1,21.
    • I quadrati ottenuti da questi calcoli sono: 0,81; 0,01; 0,01; 0,16; 1,21.
    • Controlla che siano corretti prima di procedere alla fase successiva.
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    Somma fra loro i quadrati.
    • I quadrati del nostro esempio sono: 0,81; 0,01; 0,01; 0,16; 1,21.
    • 0,81 + 0,01 + 0,01 + 0,16 + 1,21 = 2,2.
    • Per quanto riguarda il campione delle altezze di cinque palme, la somma dei quadrati è 2,2.
    • Controlla la somma per essere sicuro che sia giusta prima di continuare.
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    Dividi la somma dei quadrati per (n-1). Ricorda che n è il numero dei dati che compone l’insieme. Questo ultimo calcolo ti dà il valore della varianza.
    • La somma dei quadrati dell’esempio delle altezze delle palme (0,81; 0,01; 0,01; 0,16; 1,21) è 2,2.
    • In questo campione ci sono 5 valori, quindi n=5.
    • n-1=4.
    • Ricorda che la somma dei quadrati è 2,2. Per trovare la varianza procedi con la divisione 2,2/4.
    • 2,2/4=0,55.
    • La varianza del campione di altezze delle palme è 0,55.
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Parte 3 di 4:
Calcolare la Deviazione Standard
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    Trova la varianza. Ti servirà per calcolare la deviazione standard.
    • La varianza mostra quanto lontano i dati di un insieme si distribuiscono attorno al valore medio.
    • La deviazione standard rappresenta come questi valori si distribuiscono.
    • Nell’esempio precedente, la varianza è 0,55.
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    Estrai la radice quadrata della varianza. In questo modo trovi la deviazione standard.
    • Nell’esempio delle palme, la varianza è 0,55.
    • √0,55 = 0,741619848709566. Spesso si trovano valori con una lunga serie di decimali, quando si procede a questo calcolo. Si può tranquillamente arrotondare il numero alla seconda o terza cifra decimale per determinare la deviazione standard. In questo caso fermati a 0,74.
    • Utilizzando un valore arrotondato, la deviazione standard del campione di altezze degli alberi è 0,74.
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    Controlla nuovamente i calcoli per la media, la varianza e la deviazione standard. Così facendo sei certo di non aver commesso errori.
    • Scrivi tutti i passaggi che hai seguito nell’esecuzione dei calcoli.
    • Tale accortezza ti aiuta a trovare eventuali sbagli.
    • Se durante il processo di verifica trovi dei valori di media, varianza o deviazione standard diversi, allora ripeti nuovamente i calcoli con grande attenzione.
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Parte 4 di 4:
Calcolare lo Z Score
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    Usa questa formula per trovare lo Z score: z = X - μ / σ. Questa ti permette di trovare lo Z score per ogni dato del campione.
    • Ricorda che lo Z score misura di quante deviazioni standard ogni valore di un campione si discosta dalla media.
    • Nella formula X rappresenta il valore che vuoi esaminare. Ad esempio, se vuoi sapere di quante deviazioni standard l’altezza 7,5 si discosta dal valore medio, sostituisci X con 7,5 all’interno dell’equazione.
    • Il termine μ rappresenta la media. Il valore medio del campione del nostro esempio era 7,9.
    • Il termine σ è la deviazione standard. Nel campione di palme, la deviazione standard era 0,74.
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    Inizia i calcoli sottraendo il valore medio dal dato che vuoi esaminare. In questo modo procedi con il calcolo dello Z score.
    • Consideriamo, ad esempio, lo Z score del valore 7,5 del campione di altezze degli alberi. Vogliamo sapere di quante deviazioni standard si allontana dalla media 7,9.
    • Esegui la sottrazione 7,5-7,9.
    • 7,5 - 7,9 = -0,4.
    • Controlla sempre i calcoli per essere certo di non avere commesso errori, prima di continuare.
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    Dividi la differenza che hai appena trovato per il valore della deviazione standard. A questo punto ottieni lo Z score.
    • Come già detto in precedenza, vogliamo trovare lo Z score del dato 7,5.
    • Abbiamo già provveduto alla sottrazione dal valore medio e abbiamo trovato -0,4.
    • Ricorda che la deviazione standard del nostro campione era 0,74.
    • -0,4 / 0,74 = -0,54.
    • In questo caso lo Z score è -0,54.
    • Questo Z score significa che il dato 7,5 si trova a -0,54 deviazioni standard dal valore medio del campione.
    • Gli Z score possono essere valori sia positivi che negativi.
    • Uno Z score negativo indica che il dato è inferiore rispetto alla media; al contrario, uno Z score positivo indica che il dato preso in esame è più grande della media aritmetica.
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